يُعرَّف العزم بأنّه ناتج الضرب المتّجهي بين:
متّجه القوّة ومتّجه موقع نقطة تأثيرها
الكتلة والتسارع
الكتلة والسرعة الزاوية
القوّة والزمن
تتحقّق حالة الاتّزان السكوني لجسم عندما:
يكون العزم المحصّل صفرًا فقط
تكون القوّة المحصّلة والعزم المحصّل كلاهما صفرًا
تكون سرعته الزاوية أعظمية
تكون القوّة المحصّلة صفرًا فقط
يُعرَّف مركز الكتلة لجسم بأنّه:
منتصف طول الجسم دائمًا
أعلى نقطة في الجسم
النقطة التي يمكن افتراض كتلة الجسم مركّزة فيها بالكامل
نقطة تأثير القوّة المحصّلة فقط
عزم القصور الذاتي لجسيم نقطي كتلته m يبعد r عن محور الدوران يُعطى بالعلاقة:
I = m/r
I = m²r
I = mr
I = mr²
عزم القصور الذاتي لقرص مصمت منتظم كتلته M ونصف قطره R حول مركزه:
½MR²
⅖MR²
⅔MR²
MR²
يُعبَّر عن قانون نيوتن الثاني للحركة الدورانية بالعلاقة:
Στ = ma
Στ = Iα
ΣF = Iα
Στ = mα
تُعرَّف الطاقة الحركية الدورانية لجسم بالعلاقة:
KE = Iω²
KE = Iω
KE = ½Iω²
KE = ½Iω
يُعرَّف الزخَم الزاويّ لجسم يدور بالعلاقة:
L = I + ω
L = ω/I
L = I/ω
L = Iω
ينصّ قانون حفظ الزخَم الزاويّ على أنّه في غياب عزم خارجي محصّل:
يبقى الزخَم الزاويّ الكلّي للنظام ثابتًا
تبقى السرعة الزاوية ثابتة دائمًا
تبقى الطاقة الحركية الدورانية ثابتة
يبقى عزم القصور الذاتي ثابتًا
عندما يضمّ متزلّج على الجليد ذراعيه أثناء الدوران، فإنّ سرعته الزاوية:
تقلّ لأنّ عزم قصوره الذاتي يزداد
تزداد لأنّ عزم قصوره الذاتي يقلّ فيبقى الزخَم الزاويّ ثابتًا
تبقى ثابتة
تصبح صفرًا
لعبة اتّزان (see-saw) يجلس على طرفيها طفلان وزناهما 600 N و420 N. باستخدام شرط الاتّزان الثاني، فإنّ وزن اللوح الخشبي (بمعطيات الأبعاد المناسبة) يُحسب من خلال:
حساب متوسّط الوزنين
تطبيق Στ=0 حول نقطة الارتكاز وحلّ المعادلة
لا يمكن حساب وزن اللوح إطلاقًا
أخذ مجموع الأوزان فقط
يستخدم زيد مفتاح شدٍّ طويلًا لفكّ صامولة عالقة بدلًا من مفتاح قصير؛ لأنّ ذلك:
يقلّل العزم اللازم
لا فرق بين استخدام أيّ منهما
يقلّل الاحتكاك فقط
يزيد ذراع القوّة فيزداد العزم لقوّة اليد نفسها
قرص كتلته 40 kg ونصف قطره 0.20 m، فإنّ عزم قصوره الذاتي حول محور يمرّ بمركزه بوحدة kg.m² يساوي:
0.8
3.2
0.4
1.6
عزم القصور الذاتي لجسم صفة تعبّر عن:
سرعته الزاوية
مقاومة الجسم للتغيّر في حالته الدورانية
كتلته الكلية بغضّ النظر عن توزيعها
طاقته الحركية الانتقالية
يبيّن شكل متّجهي السرعة الزاوية والتسارع الزاوي لجسم يدور، عندما يكونان متعاكسين في الاتّجاه؛ فإنّ الجسم:
يتباطأ
يتسارع
يدور بسرعة ثابتة
لا يدور إطلاقًا
يقابل عزم القصور الذاتي (I) في الحركة الدورانية ما يقابله في الحركة الانتقالية وهو:
التسارع
القوّة
السرعة
الكتلة (m)
عجلة تبدأ الدوران من السكون بتسارع زاوي ثابت مقداره 3.5 rad/s²؛ فإنّ سرعتها الزاوية بعد 4.0 s بوحدة rad/s تساوي:
14
0.875
28
7
ثلاثة أطفال يقفون عند حافّة لعبة دوّارة، وعندما يتحرّك أحدهم نحو المركز، فإنّ عزم القصور الذاتي للنظام:
يبقى ثابتًا
يصبح صفرًا
يقلّ
يزداد
متزلّجة على الجليد تدور بسرعة زاوية 3.0 rev/s وعزم قصورها الذاتي (وذراعاها ممدودتان) 4.6 kg.m²، ثمّ ضمّت ذراعيها فأصبح عزم قصورها الذاتي 1.2 kg.m²؛ فإنّ مقدار سرعتها الزاوية الجديدة بوحدة rev/s تساوي:
3.0
5.75
11.5
0.78
عند حفظ الزخَم الزاويّ لنظام يتغيّر عزم قصوره الذاتي، فإنّ الطاقة الحركية الدورانية للنظام:
تصبح صفرًا دائمًا
تساوي صفر الزخَم الزاويّ دائمًا
تبقى محفوظة دائمًا مثل الزخَم الزاويّ
قد تتغيّر رغم ثبات الزخَم الزاويّ
مركز كتلة جسم غير منتظم الشكل يكون أقرب إلى:
المنطقة ذات الكتلة الأكبر
منتصف الجسم دائمًا
أبعد نقطة عن الجسم
المنطقة ذات الكتلة الأقلّ
نظام يتكوّن من كرتين، كتلة الأولى 1.0 kg عند الموقع 5.0 cm، وكتلة الثانية 3.0 kg عند الموقع 15.0 cm؛ فإنّ موقع مركز كتلة النظام بوحدة cm يساوي:
10.0
12.5
7.5
15.0
دولاب حدّاد (Flywheel) يُصمَّم بعزم قصور ذاتي كبير؛ لأنّ ذلك يجعله:
أخفّ وزنًا
يفقد طاقته الحركية الدورانية بسرعة
يحافظ على سرعة دورانية شبه ثابتة رغم التغيّرات المفاجئة في العزم المؤثّر
أسهل تدويرًا من السكون
العلاقة بين عزم القصور الذاتي لجسم وصعوبة تدويره هي علاقة:
لا توجد علاقة
تختلف من جسم لآخر
عكسية
طردية
دوران عجلة المقود بحيث تكون كتلتها موزّعة قرب الحافة الخارجية (كحلقة)؛ يهدف إلى:
تقليل عزم القصور الذاتي
زيادة عزم القصور الذاتي لصعوبة تدويرها بسهولة
تقليل وزنها فقط
لا علاقة لتوزيع الكتلة بعزم القصور الذاتي
جيروسكوب (Gyroscope) يحافظ على اتّجاه محور دورانه في الفضاء دون تغيّر إلّا بتأثير عزم خارجي؛ وهذا تطبيق مباشر لـ:
قانون كولوم
قانون حفظ الطاقة
قانون حفظ الزخَم الزاويّ
قانون حفظ الزخَم الخطّي
عند تدوير دراجة هوائية بسرعة كبيرة، تصبح أكثر ثباتًا واتّزانًا؛ ويُعزى ذلك إلى:
تقليل وزنها الكلّي
لا علاقة لسرعة الدوران بالاتّزان
زيادة عزم قصورها الذاتي فقط
زيادة زخَمها الزاويّ الذي يقاوم التغيّر المفاجئ في اتّجاه محور الدوران
مسطرة متّزنة القوّة المحصّلة المؤثّرة فيها صفرًا، لكنّ القوّتين المؤثّرتين فيها لهما خطّا عمل مختلفان؛ فإنّ المسطرة تكون:
غير متّزنة؛ لأنّ العزم المحصّل لا يساوي صفرًا
متّزنة دائمًا
لا يمكن الحكم عليها
متّزنة لأنّ الشرط الأول تحقّق
عزم الازدواج (قوّتان متساويتان متعاكستان لهما خطّا عمل مختلفان) يكون فيه:
العزم المحصّل صفرًا مثل القوّة المحصّلة
القوّة المحصّلة صفرًا لكنّ العزم المحصّل لا يساوي صفرًا
كلاهما لا يساوي صفرًا
كلاهما يعتمد على الكتلة فقط
عزم القصور الذاتي لقضيب رفيع منتظم كتلته M وطوله L حول محور عمودي يمرّ بمنتصفه:
ML²
1/3 ML²
1/12 ML²
1/2 ML²
إذا تضاعف نصف قطر دوران جسيم نقطي حول محور معيّن مع بقاء كتلته ثابتة؛ فإنّ عزم قصوره الذاتي:
يبقى كما هو
يقلّ إلى النصف
يتضاعف
يصبح أربعة أمثاله
عند إطلاق قذيفة كتلتها 5 kg تنشطر إلى جزأين متساويين في الكتلة، فإنّ القوى المسؤولة عن حفظ الزخَم الخطّي هي:
قوى داخلية ناتجة عن الانفجار
الجاذبية الأرضية فقط
قوى الاحتكاك
قوى خارجية كبيرة
طاقة حركية دورانية لقرص عزم قصوره الذاتي 2.0 kg.m² ويدور بسرعة زاوية 10 rad/s بوحدة J تساوي:
20
100
200
10
عند مضاعفة عزم القصور الذاتي لجسم مع بقاء زخَمه الزاويّ ثابتًا؛ فإنّ طاقته الحركية الدورانية:
تصبح أربعة أمثالها
تتضاعف
تنخفض إلى النصف
تبقى كما هي
شخص يقف على منصّة دوّارة ساكنة يحمل عجلة دراجة ساكنة، وعندما يدير العجلة بسرعة معيّنة حول محور رأسي؛ فإنّ الشخص والمنصّة:
يدوران بالاتّجاه نفسه لدوران العجلة
يسقط الشخص فورًا
يبقيان ساكنين تمامًا
يبدآن بالدوران بعكس اتّجاه دوران العجلة لحفظ الزخَم الزاويّ الكلّي
باستخدام قاعدة قبضة اليد اليمنى لتحديد اتّجاه السرعة الزاوية لجسم يدور بعكس عقارب الساعة في مستوى xy، فإنّ اتّجاهها يكون:
+z
z
+x
y
كوكب يدور حول الشمس في مدار إهليلجي؛ فإنّ الزخَم الزاويّ للكوكب حول الشمس طوال مداره يكون:
متغيّرًا باستمرار
محفوظًا؛ لأنّ قوّة الجذب تمرّ عبر مركز الكوكب فلا تُحدث عزمًا
معدومًا عند جميع النقاط
أعظميًّا فقط عند أقرب نقطة
قرص وحلقة متماثلان في الكتلة ونصف القطر، فإنّ عزم القصور الذاتي للحلقة مقارنة بالقرص يكون:
لا يمكن المقارنة
أصغر منه
أكبر منه
مساويًا له تمامًا
العلاقة بين العزم المؤثّر في جسم والمعدّل الزمني لتغيُّر زخَمه الزاويّ تُعطى بالصورة:
τ = Δt/ΔL
τ = L/Δt²
τ = L × Δt
τ = ΔL/Δt